θ가 아주 작으면 tan(θ)≈θ 라고?

네, 맞습니다. θ가 매우 작을 때, tan(θ) ≈ θ 라고 할 수 있습니다. 이를 "소각 근사(small-angle approximation)"라고 부릅니다.

 

 

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왜 그렇게 되나요?

이 근사는 간단하게는 두 가지 방법으로 설명할 수 있습니다.

 

1. 함수의 그래프로 이해하기

y = tan(θ)와 y = θ의 그래프를 원점(θ=0) 근처에서 확대해 보면, 두 그래프가 거의 일치하는 것을 볼 수 있습니다. 이는 θ가 0에 가까워질수록 tan(θ)의 값과 θ의 값이 매우 비슷해진다는 것을 의미합니다.

그래프를 그려봅시다. θ < 0.1 에서는 거의 두 개의 그래프가(빨강과 파랑) 같다고 봐도 무방하겠죠? 두 그래프의 차이인 녹색 점선을 보면 0에 가깝습니다.

소각 근사 그래프로 이해하기

 

 

2. 테일러 급수(Taylor Series)로 이해하기

tan(θ)를 θ=0 근처에서 테일러 급수로 전개하면 다음과 같습니다.

 

$$\tan(\theta) = \theta + \frac{1}{3}\theta^3 + \frac{2}{15}\theta^5 + \dots$$

 

여기서 θ가 매우 작다면 (θ ≈ 0), θ를 여러 번 곱한 θ³, θ⁵ 같은 항들은 θ보다 훨씬 더 작아져서 무시할 수 있게 됩니다.

예를 들어, θ = 0.01 이라면:

• θ=0.01
• θ3=0.000001
• θ5=0.0000000001

따라서 뒤따라오는 항들을 무시하면 tan(θ) ≈ θ 라는 근사식이 성립합니다.

 

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⚠️ 중요 조건: 라디안(Radian) 단위

이 근사식은 각도 θ가 반드시 라디안(radian) 단위일 때만 성립합니다. 우리가 흔히 사용하는 60분법 각도(degree, °) 단위에서는 성립하지 않으니 주의해야 합니다. (위에서 그린 그래프도 x축의 단위가 radian입니다)

참고로, 사인(sine)과 코사인(cosine) 함수도 비슷한 소각 근사를 가집니다.

• sin(θ) ≈ θ
• cos(θ) ≈ 1